ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়

সুচিপত্র:

ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়
ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়

ভিডিও: ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়

ভিডিও: ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর করার 3 উপায়
ভিডিও: How To Find And Remove Duplicate Data In MS Excel | MS Excel Bangla Tutorial 2019 2024, মার্চ
Anonim

একটি ত্রৈমাসিক একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি যা তিনটি পদ নিয়ে গঠিত। আপনি সম্ভবত চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিককে ফ্যাক্টর করতে শিখবেন, যা কুড়াল আকারে লেখা ত্রিনোমিয়াল2 + bx + c। বেশ কয়েকটি কৌশল রয়েছে যা বিভিন্ন ধরণের চতুর্ভুজ ট্রিনোমিয়ালগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে তবে আপনি অনুশীলনের সাথে আরও ভাল এবং দ্রুত পাবেন। উচ্চতর ডিগ্রির বহুবচন, যেমন পদ3 অথবা x4, সর্বদা একই পদ্ধতিতে সমাধান করা যায় না, কিন্তু আপনি প্রায়ই সহজ ফ্যাক্টরাইজেশন বা শব্দ প্রতিস্থাপনের আশ্রয় নিতে পারেন যাতে সেগুলিকে এমন সমস্যাগুলিতে পরিণত করা যায় যা যে কোন চতুর্ভুজ সূত্র দিয়ে সমাধান করা যায়।

পদক্ষেপ

3 এর পদ্ধতি 1: ফ্যাক্টরিং x2 + bx + c

Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 1
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 1

ধাপ 1. বিতরণমূলক সম্পত্তি শিখুন (ইংরেজিতে FOIL নামেও পরিচিত) , (x+2) (x+4) এর মত এক্সপ্রেশন গুন করতে।

আপনি ফ্যাক্টরিং শুরু করার আগে, এটি কীভাবে কাজ করে তা জানা ভাল:

  • গুণ করুন প্রথম পদ: (এক্স+2)(এক্স+4) = এক্স2 + _
  • এর শর্তগুলি গুণ করুন বাইরে: (এক্স+2) (x+

    ধাপ 4।) = x2+ 4x + _

  • এর শর্তগুলি গুণ করুন ভিতরে: (x+

    ধাপ ২.)(এক্স+4) = x2+4x+ 2x + _

  • গুণ করুন শেষ পদ: (x+

    ধাপ ২.)(এক্স

    ধাপ 4।) = x2+4x+2x

    ধাপ 8।

  • সরল করুন: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 2
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 2

ধাপ 2. ফ্যাক্টরাইজেশন বুঝুন।

যখন আপনি বিতরণকারী ব্যবহার করে দুটি দ্বিপদ একসঙ্গে গুণ করেন, তখন আপনি একটি x রূপের একটি ত্রৈমাসিক (তিন-মেয়াদী অভিব্যক্তি) দিয়ে শেষ করেন2+ b x+ c, যেখানে "a", "b" এবং "c" সাধারণ সংখ্যা। আপনি যদি একই ফর্মের একটি সমীকরণ দিয়ে শুরু করেন, তাহলে আপনি এটিকে আবার দুটি দ্বিপদীতে ফ্যাক্টর করতে পারেন।

  • যদি সেই ক্রমে সমীকরণ লেখা না হয়, তাহলে পদগুলিকে যথাযথ অবস্থানে সরান। উদাহরণস্বরূপ, পুনর্লিখন 3x - 10 + x2 মত এক্স2 + 3x - 10.
  • সবচেয়ে বড় সূচক হিসাবে 2 (x2, এই অভিব্যক্তিটিকে "চতুর্ভুজ" বলা হয়।
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 3
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 3

পদক্ষেপ 3. উপস্থাপিত পদ্ধতির উত্তরের জন্য একটি স্থান সংরক্ষণ করুন।

আপাতত, শুধু লিখুন (_ _) (_ _) উত্তরের জন্য নিবেদিত স্থানে। আমরা শীঘ্রই এই ক্ষেত্রগুলি পূরণ করব।

খালি পদগুলির মধ্যে + বা - চিহ্নগুলি রাখবেন না, কারণ আমরা জানি না কোনটি ব্যবহার করা হবে।

ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 4
ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 4

ধাপ 4. প্রথম পদ পূরণ করুন।

সহজ সমস্যা যেখানে আপনার ত্রৈমাসিকের প্রথম মেয়াদ মাত্র x2, প্রথম অবস্থানের শর্তাবলী সর্বদা থাকবে এক্স এবং এক্স । এইগুলি x এর গুণক2, কারণ x গুণ x = x2.

  • আমাদের উদাহরণ, x2 + 3x - 10, x দিয়ে শুরু হয়2, তারপর আমরা লিখতে পারি:
  • (x _) (x _)
  • আমরা পরবর্তী বিভাগে আরও বিস্তৃত সমস্যাগুলি দেখব, যার মধ্যে 6x এর মতো একটি শব্দ দিয়ে শুরু হওয়া ট্রিনোমিয়ালগুলি রয়েছে2অথবা -এক্স2। আপাতত, উদাহরণের সমস্যাটি অনুসরণ করুন।
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 5
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 5

ধাপ 5. শেষ পদগুলি অনুমান করতে ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করুন।

যদি আপনি ফিরে যান এবং প্রাথমিকভাবে ব্যবহৃত পদ্ধতিটি পুনরায় পড়েন, আপনি দেখতে পাবেন যে শেষ পদগুলিকে গুণ করলে বহুবচনে চূড়ান্ত শব্দ পাওয়া যায় (যেটি x এর সাথে নেই)। সুতরাং ফ্যাক্টর করার জন্য, আমাদের দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা শেষ টার্ম গঠনের জন্য গুণ করে।

  • আমাদের উদাহরণে, x2 + 3x - 10, শেষ মেয়াদ হল -10।
  • -10 এর গুণক কি? কোন দুটি সংখ্যা একসঙ্গে গুণ করলে -10 হয়?
  • কয়েকটি সম্ভাবনা রয়েছে: -1 গুণ 10, 1 সময় -10, -2 গুণ 5, বা 2 গুণ -5। এই জোড়াগুলি কোথাও লিখুন যাতে আপনি ভুলে না যান।
  • উত্তরটি এখনও পরিবর্তন করবেন না। তিনি এখনও এই মত দেখায়: (x _) (x _).
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 6
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 6

ধাপ 6. পরীক্ষা করুন কোন সম্ভাবনাগুলি বাইরে এবং ভিতরে গুণের সাথে কাজ করে।

আমরা শেষ শর্তগুলোকে কয়েকটি সম্ভাবনায় কমিয়ে এনেছি। বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ পদগুলিকে গুণ করে প্রত্যেকটি পরীক্ষা করুন, তারপরে ফলাফলটিকে আমাদের ত্রিমাত্রিকের সাথে তুলনা করুন। উদাহরণ স্বরূপ:

  • আমাদের মূল সমস্যার "x" শব্দটি হল "3x", তাই পরীক্ষায় আমরা সেটাই পেতে চাই।
  • পরীক্ষা -1 এবং 10: (x -1) (x+10)। বাইরে + ভিতরের মান = 10x - x = 9x। না.
  • পরীক্ষা 1 এবং -10: (x+1) (x -10)। -10x + x = -9x। এটা সঠিক না. আসলে, -1 এবং 10 পরীক্ষার পর, আপনি জানেন যে উত্তর 1 এবং -10 উপরের ফলাফলের ঠিক বিপরীত হবে: 9x এর পরিবর্তে -9x।
  • পরীক্ষা -2 এবং 5: (x -2) (x+5)। 5x - 2x = 3x। এটি মূল বহুবচনের সাথে মেলে, তাই এটি সঠিক উত্তর: (x-2) (x+5).
  • এর মতো সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন x এর সামনে কোন ধ্রুবক থাকে না2, আপনি একটি শর্টকাট ব্যবহার করতে পারেন: শুধু দুটি কারণ যোগ করুন এবং (-2+5 → 3x) এর পরে একটি "x" রাখুন। এটি আরও জটিল সমস্যাগুলির সাথে কাজ করবে না, তাই উপরে বর্ণিত সম্পূর্ণ পথটি মনে রাখা ভাল।

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: আরও বিস্তৃত ট্রিনোমিয়াল বের করা

ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 7
ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 7

ধাপ 1. আরো বিস্তৃত সমস্যাগুলি সহজ করার জন্য সহজ ফ্যাক্টরিং ব্যবহার করুন।

ধরা যাক আপনাকে ফ্যাক্টর করতে হবে 3x2 + 9x - 30 । এমন একটি সংখ্যার সন্ধান করুন যা তিনটি পদকে (তাদের "সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক" বা MDC) এর সাথে যুক্ত করে। এই ক্ষেত্রে, এটি 3:

  • 3x2 = (3) (x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • তাই 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10)। আমরা এই নিবন্ধের শুরুতে ধাপগুলি ব্যবহার করে নতুন ত্রৈমাসিক বের করতে পারি। উত্তর হবে (3) (x-2) (x+5).
ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 8
ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর ধাপ 8

ধাপ 2. আরো বিস্তৃত বিষয়গুলির জন্য দেখুন।

কখনও কখনও ফ্যাক্টরটি ভেরিয়েবলকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারে, অথবা যতক্ষণ না আপনি সহজতম অভিব্যক্তিটি খুঁজে পান ততক্ষণ আপনাকে কয়েকবার ফ্যাক্টর করতে হতে পারে। এখানে কিছু উদাহরন:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2 বছর)(এক্স2 + 7x + 12)
  • এক্স4 + 11x3 - 26x2 = (এক্স2)(এক্স2 + 11x - 26)
  • -এক্স2 + 6x - 9 = (-1)(এক্স2 - 6x + 9)
  • শুরু থেকে ধাপগুলি ব্যবহার করে আরও একবার নতুন ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর করতে ভুলবেন না। আপনার উত্তরটি পরীক্ষা করুন এবং এই নিবন্ধের শেষের কাছাকাছি অনুরূপ উদাহরণের সমস্যাগুলি সন্ধান করুন।
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 9
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 9

ধাপ 3. x এর সামনে একটি সংখ্যা দিয়ে সমস্যার সমাধান করুন2.

কিছু চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিক সরলীকরণ করা যায় না যতক্ষণ না আপনি সবচেয়ে সহজ ধরনের সমস্যার সম্মুখীন হন। 3x এর মত সমস্যার সমাধান করতে শিখুন2 + 10x + 8 এবং তারপরে এই নিবন্ধের শেষে উদাহরণ সমস্যাগুলির সাথে নিজেকে অনুশীলন করুন:

  • উত্তর একত্রিত করুন: (_ _)(_ _)
  • প্রথম পদগুলির প্রত্যেকটির একটি "x" আছে এবং যখন গুণিত হয়, তখন 3x হয়2। এখানে শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য বিকল্প আছে: (3x _) (x _).
  • 8 এর গুণক তালিকা করুন। আমাদের বিকল্পগুলি 1 গুণ 8, বা 2 গুণ 4।
  • বাইরে এবং ভিতরে শর্তাবলী ব্যবহার করে তাদের পরীক্ষা করুন। লক্ষ্য করুন যে কারণগুলির ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু বাইরের শব্দটি "3x" দ্বারা গুণিত হচ্ছে, "x" দ্বারা নয়। 10x এর মধ্যে বাইরে থেকে + মূল ফলাফল না পাওয়া পর্যন্ত সমস্ত সম্ভাবনা চেষ্টা করুন:
  • (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x না.
  • (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x না.
  • (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x না.
  • (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x হ্যাঁ, এটি সঠিক ফ্যাক্টর।
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 10
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 10

ধাপ 4. উচ্চ-গ্রেড ট্রিনোমিয়ালগুলির জন্য প্রতিস্থাপন ব্যবহার করুন।

আপনার গণিতের পাঠ্যপুস্তক আপনাকে উচ্চ এক্স এক্সপোনেন্ট সমীকরণ দিয়ে অবাক করে দিতে পারে4, ইতোমধ্যে সমস্যা সহজ করার জন্য সহজ ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করার পরেও। এটি একটি নতুন পরিবর্তনশীল দিয়ে প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করুন যা সমীকরণটিকে এমন কিছুতে পরিণত করে যা আপনি সমাধান করতে পারেন। উদাহরণ স্বরূপ:

  • এক্স5+13x3+36x
  • = (x) (x)4+13x2+36)
  • আসুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল উদ্ভাবন করি। আমরা বলব যে y = x2 এবং আমরা প্রতিস্থাপন করব:
  • (x) (y2+13y+36)
  • = (x) (y+9) (y+4)। এখন আসল ভেরিয়েবল ব্যবহার করে ফিরে যান:
  • = (x) (x)2+9) (এক্স2+4)
  • = (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 এর পদ্ধতি 3: বিশেষ ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং

Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 11
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 11

ধাপ 1. মৌলিক সংখ্যাগুলি সন্ধান করুন।

ত্রিমাত্রিকের প্রথম বা তৃতীয় মেয়াদে ধ্রুবক একটি মৌলিক সংখ্যা কিনা তা পরীক্ষা করুন। একটি মৌলিক সংখ্যাকে শুধুমাত্র নিজের দ্বারা এবং 1 দ্বারা সমানভাবে ভাগ করা যায়, তাই কেবল দ্বিমাত্রিক কারণের একটি সম্ভাব্য জোড়া আছে।

  • উদাহরণস্বরূপ, x এ2 + 6x + 5, "5" একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই দ্বিপদটি এইরকম হওয়া উচিত: (_ 5) (_ 1)।
  • 3x সমস্যায়2+10x+8, 3 একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই দ্বিপদটি এইরকম হওয়া উচিত: (3x _) (x _)।
  • 3x সমস্যার জন্য2+4x+1, "3" এবং "1" উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, তাই একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান হল (3x+1) (x+1)। (আপনার গণনা যাচাই করার জন্য আপনার এখনও এই গুণ করা উচিত, কারণ কিছু এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টর করা যায় না - উদাহরণস্বরূপ, 3x2 + 100x + 1 এর কোন কারণ নেই)।
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 12
Trinomials ফ্যাক্টর ধাপ 12

ধাপ 2. পরীক্ষা করুন যে ত্রিকোণটি একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র।

একটি নিখুঁত বর্গের ত্রৈমাসিককে দুটি অভিন্ন দ্বিপদতে ভাগ করা যায় এবং ফ্যাক্টরটি সাধারণত (x+1) হিসাবে লেখা হয়2, (x+1) (x+1) এর পরিবর্তে। এখানে কিছু সাধারণ বিষয় রয়েছে যা ঝামেলা দেখায়:

  • এক্স2+2x+1 = (x+1)2, এবং x2-2x+1 = (x-1)2
  • এক্স2+4x+4 = (x+2)2, এবং x2-4x+4 = (x-2)2
  • এক্স2+6x+9 = (x+3)2, এবং x2-6x+9 = (x-3)2
  • একটি x এর আকারে একটি নিখুঁত বর্গের ত্রৈমাসিক2 + bx + c, "a" এবং "c" পদ সবসময় ধনাত্মক নিখুঁত বর্গ (যেমন 1, 4, 9, 16 বা 25), এবং b (ধনাত্মক বা negativeণাত্মক) শব্দটি সর্বদা 2 (√a * √c)।
ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর ধাপ 13
ত্রৈমাসিক ফ্যাক্টর ধাপ 13

পদক্ষেপ 3. কোন সমাধান নেই কিনা তা পরীক্ষা করুন।

সব ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টর করা যায় না। যদি আপনি একটি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিক (অক্ষ2+bx+c), ফলাফল খুঁজে পেতে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করুন। যদি একমাত্র উত্তর একটি নেতিবাচক সংখ্যার বর্গমূল হয়, তাহলে কোন বাস্তব সমাধান নেই, তাই কোন কারণ নেই।

নন-চতুর্ভুজ ট্রিনোমিয়ালগুলির জন্য, আইজেনস্টাইন মানদণ্ড ব্যবহার করুন, যা ইঙ্গিত বিভাগে বর্ণিত হয়েছে।

উত্তর এবং সমস্যার উদাহরণ

  1. সবচেয়ে বিস্তৃত ফ্যাক্টরিং সমস্যার উত্তর।

    এগুলি "আরও বিস্তৃত" ত্রৈমাসিক অংশগুলির সমস্যা। আমরা ইতোমধ্যেই তাদের সরলীকরণ করেছি, তাদের একটি সহজ সমস্যা করে তুলেছি। এখন শুরু থেকে ধাপগুলি ব্যবহার করে সেগুলি সমাধান করার চেষ্টা করুন, তারপরে আপনার গণনাগুলি এখানে দেখুন:

    • (2y) (এক্স2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
    • (এক্স2)(এক্স2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
    • (-1) (এক্স2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
  2. আরো জটিল ফ্যাক্টরিং সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করুন।

    এই সমস্যাগুলির প্রতিটি পদে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর রয়েছে যা প্রথমে ফ্যাক্টর করা প্রয়োজন। উত্তর দেখতে সমান চিহ্নের পরে স্থানটি হাইলাইট করুন এবং এখানে আপনার গণনা পরীক্ষা করুন:

    • 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1)-আপনার উত্তর দেখতে এই স্থানটি হাইলাইট করুন
    • -5x3y2+30x2y2-25 বছর2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
  3. কঠিন সমস্যা নিয়ে অনুশীলন করুন।

    এই সমস্যাগুলিকে সহজ সমীকরণে ভাগ করা যায় না, তাই আপনাকে পরীক্ষার মাধ্যমে (_x + _) (_ x + _) আকারে একটি উত্তর তৈরি করতে হবে:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← উত্তর দেখতে হাইলাইট করুন
    • 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (ইঙ্গিত: 9x এর জন্য আপনাকে কয়েকটি কারণের বেশি চেষ্টা করতে হতে পারে)।

    পরামর্শ

    • আপনি যদি চতুর্ভুজ ত্রৈমাসিক (কুড়াল2+bx+c), x এর মান বের করতে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করতে পারে।
    • যদিও এটি কিভাবে করতে হয় তা জানার দরকার নেই, আপনি আইজেনস্টাইনের মানদণ্ডটি ব্যবহার করে দ্রুত নির্ধারণ করতে পারেন যে একটি বহুপদী অপ্রচলিত এবং ফ্যাক্টর করা যাবে না। এই মানদণ্ডটি যে কোন বহুপদী ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু এটি বিশেষভাবে ত্রৈমাসিকের সাথে ভালভাবে কাজ করে। যদি একটি মৌলিক সংখ্যা "পি" থাকে যা শেষ দুটি পদকে সমানভাবে ভাগ করে এবং নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে, তাহলে বহুপদীটি অপ্রচলিত:

      • ধ্রুবক শব্দ (কোন পরিবর্তনশীল নয়) p এর একাধিক, কিন্তু p নয়।2.
      • প্রধান শব্দ (যেমন কুড়ালে "a"2+bx+c) p এর একাধিক নয়।
      • উদাহরণস্বরূপ, 14x2 + 45x + 51 অপ্রচলিত, কারণ একটি মৌলিক সংখ্যা আছে (3) যা 45 এবং 51 কে সমানভাবে ভাগ করে, কিন্তু 14 নয়, এবং 51 কে 3 দিয়ে সমানভাবে ভাগ করা যায় না2.

    নোটিশ

    যদিও এটি চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য সত্য, সত্যিকারের ত্রৈমাসিক দুটি অদ্বিতীয় দ্বিপদের পণ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23)।

প্রস্তাবিত: